Zadanie nr8

Dana jest prosta y=2x+m
a). Wyznacz liczbę punktów wspólnych prostej y=2x+m z parabolą
y=x2-2x-3 w zależności od parametru m.
b). Na prostej y=2x+m, gdzie m=1 zaznaczono odcinek AB
długości odcinka gdzie A(1, 3). Wyznacz punkt B.
c). Rozwiąż układ równań:
{kx-2y=3
3x+ky=2
Dla jakich wartości parametru k proste przecinają się w II ćwiartce
układu współrzędnych

Rozwiązanie zadania:
a). Liczba punktów wspólnych prostej i paraboli jest równoznaczna
z liczbą rozwiązań układu równań:
{y=2x+m
y=x2-2x-3
Liczba rozwiązań układu jest równoznaczna z liczbą rozwiązań
równania: 2x+m=x2-2x-3
tzn. x2-4x-3-m=0
Równanie to jest równaniem kwadratowym i liczba jego rozwiązań
zależy od wyróżnika
=16-4(-3-m)=16+12+4m=4m+28
Jeżeli >0 <=> 4m+28>0 <=> m>-7, to równanie, a tym samym
układ ma 2 rozwiązania
Jeżeli =0 <=> m=7, to układ ma 1 rozwiązanie
Jeżeli <0> m<7, to układ nie ma rozwiązań
Odp. Dla m>7 parabola i prosta mają 2 punkty wspólne
Dla m=7 parabola i prosta mają 1 punkt wspólny
Dla m<7 parabola i prosta nie mają punktów wspólnych
b). Na prostej y=2x+1 zaznaczono odcinek AB. Punkt A=(1, 3),
punkt B leży na prostej y=2x+1 w odległości od punktu A,
tzn. AB=
Niech B=(x, y) i y=2x+1 (ponieważ punkt B leży na prostej)
więc B=(x, 2x+1)
AB=
=
czyli: (x-1)2+(2x-2)2=45
x2-2x+1+4x2-8x+4=45
5x2-10x-40=0 /:5
x2-2x-8=0
=4+32=36 => x=(2-6)/2=2 lub x=(2+6)/2=4
Stąd: B=(-2, 2ŮÚ(-2)+1) lub B=(4, 2ŮÚ4+1)
czyli
odp. B=(-2, -3) lub B=(4, 9)
c). Rozwiązujemy układ równań:
{kx-2y=3 /ŮÚk i k 0
3x+ky=2 /ŮÚ2 (metodą przeciwnych współczynników
wyznaczamy x)
{k2x-2ky=3k
6x+2ky=4
________________+
x(k2+6)=3k+4
Ponieważ k2+6 0 dla k R, to
Wyznaczamy y metodą przeciwnych współczynników
{kx-2y=3 /ŮÚ(-3)
3x+ky=2 /ŮÚk k 0
Dla k=0
{0x-2y=3
3x+0y=2
{x=2/3
y=-3/2 To rozwiązanie nie spełnia warunku
przynależności punktu do II ćwiartki.
Rozwiązanie
i
ma wyznaczyć punkt z II
ćwiartki, czyli x0, tzn.