Zadanie nr7

Okrąg C i prosta k są określone równaniami x2+y2-4*x-1=0 oraz 2*x-y+1=0.a) Wykazać, że prosta k jest styczna do okręgu C.b) Wyznaczyć równanie obrazu okręgu C w symetrii względem prostej k.


Rozwiązanie zadania:
a)Gdy prosta jest styczna do okręgu to ma z okręgiem tylko jeden wspólny punkt. Więc należy rozwiązać poniższy układ równań, aby przekonać się ile jest rozwiązań tego układu.
{x2+y2-4*x-1=0{y=2*x+1
x2+(2*x+1)2-4*x-1=0x2+4*x2+4*x+1-4*x-1=05*x2=0
{x=0{y=1
Odp. Układ równań ma jedno rozwiązanie, więc prosta jest styczna do okręgu w punkcie (0; 1).
b)
Należy wyliczyć środek okręgu Cx2+y2-4*x-1=0x2-2*2*x+22+y2-1-22=0(x-2)2+(y+0)2=5
Środek okręgu ma współrzędne S(2;0)
Punkt styczności prostej do okręgu wyliczony w podpunkcie a) ma współrzędne P(0;1)
Obliczę teraz współrzędne wektora PS.PS=[Px-Sx; Py-Sy]=[0-2; 1-0]PS=[-2;1]
Teraz przesunę punkt S o wektor PS i otrzymam współrzędne środka okręgu symetrycznego względem prostej.S'=P+PS=(0,1)+[-2,1]S'=[-2;2]
Do wzoru ogólnego okręgu podstawiam otrzymane współrzędne środka i promień, który jest taki sam jak przy okręgu C.
r2=5S'=(-2;2)
(x+2)2+(y-2)2=5
x2+y2+4*x-4*y+3=0
Odp. Równanie okręgu symetrycznego względem prostej k ma postać x2+y2+4*x-4*y+3=0