Zadanie 21

Osioł i muł, objuczone workami, szły z trudem pod górę. Osioł począł się przed mułem żalić na ciężar, jaki nań
człowiek nałożył. Lecz muł na to mu odrzekł:
- Zwierzę leniwe, jakże się możesz skarżyć! Gdybym ja
wziął jeden z twych worków, miałbym ich dwa razy więcej niż ty, a gdybyś ty wziął jeden z moich,
dopiero mielibyśmy równo.
Ile worków niósł osioł?


Rozwiązanie zadania

x - liczba worków osła

y - liczba worków muła

Otrzymujemy układ równań z dwiema niewiadomymi:

y + 1 = 2(x - 1)

y - 1 = x + 1

Zadanie 20

Trzy gracje niosą jabłka, każda ma jednakową ich ilość. Spotykają dziewięć muz, na ich prośbę obdarzają każdą
muzę jednakową ilością jabłek. Po podziale każda grajca i każda muza miała taką samą ilość jabłek. Ile jabłek
miała każda z gracji przed podziałem?

Rozwiązanie zadania


Wszystkie boginie, a było ich w sumie 12, miały po podziale jednakową ilość jabłek.
Więc ogólna liczba jabłek musi być wielokrotnością liczby 12, z czego wynika, że
każda z trzech gracyj miała przed podziałem liczbę jabłek podzielną przez 4.



Wiemy również, że każda gracja obdarzyła dziewięć muz jednakową ilością jabłek,
czyli ilość ta nie może być mniejsza od 9. Pierwszą wielokrotnością liczby 4
większą od 9 jest 12. Liczba ta więc będzie poszukiwaną, gdyż jeśli każda gracja
da jedno jabłko każdej muzie, to każdej gracji pozostaną 3 jabłka i każda z muz
otrzyma 3 jabłka. Rozwiązaniem zadania są więc wszystkie wielokrotności liczby 12.

Zadanie19

Dwaj rowerzyści początkowo znajdują się w odległości dwudziestu kilometrów od siebie. Jadą na spotkanie, każdy
z prędkością 10 km/h. W chwili początkowej mucha startuje z przedniego koła jednego rowerzysty i leci z
prędkością 15 km/h na spotkanie z drugim. Dolatuje do niego, zawraca i leci na spotkanie z pierwszym, po
czym znów zawraca, i tak dalej, aż wreszcie zostaje zgnieciona między przednimi kołami dwóch rowerów. Jaką
odległość pokonała mucha?


Rozwiązanie zadania

To zadanie da się rozwiązać na dwa sposoby. Można obliczyć długość lotu
muchy między kolejnymi spotkaniami z rowerzystami i wysumować
nieskończony szereg, ale jest drugi, znacznie łatwiejszy sposób.
Wystarczy zauważyć, że rowerzyści spotkają się po godzinie jazdy, a więc
mucha również musi latać przez godzinę, a że lata ze stałą prędkością 15
km/h, to w ciągu 1 godziny przeleci 15 kilometrów.

Zadanie 18

Dwie wieśniaczki przyniosły na targ razem 100 jaj, każda inną liczbę. Obie uzyskały tę samą ilość pieniedzy za
sprzedane wszystkie jaja. Pierwsza powiedziała:

Gdybym miała tyle jaj, ile ty przyniosłaś na targ, to zarobiłabym 15 grajcerów.
Druga odpowiedziała:

Gdybym ja zkolei miała te jaja, które ty przyniosłaś, to zarobiłabym

623grajcera.

Ile jaj przyniosła na targ każda wieśniaczka?

Rozwiązanie zadania
Niech x będzię liczbą jaj, które na targ przyniosła pierwsza wieśnaczka. Zatem druga wieśniaczka
przyniosła 100 - x jaj. Cena jednego jaja u pierwszej wieśniaczki wynosi

15100-x, a u drugiej 623x
Obliczamy teraz ile pieniędzy uzyskaa każda z wieśniaczek za sprzedane jaja.

Pierwsza otrzymała 15100-x
·x , druga zaś

623x
·(100-x)
Otrzymujemy równanie
15100-x ·x=
623x
·(100-x)
.

45x2 = 20(100 - x)2

x = 40.

Zadanie17

W ciągu czterech tygodni 12 krów zjada trawę z łąki o powierzchni

313

jugiera. Zakładamy, że w ciągu tego całego czasu trawa jednostajnie rośnie. W ciągu dziewięciu
tygodni 21 krów zjada trawę z łąki o powierzchni 10 jugierów. Ile krów zje trawę z łąki o powierzchni 24
jugierów w ciągu 18 tygodni?





Rozwiązanie zadania
Niech x oznacza ilość trawy na powierzchni jednego jugiela, a y niech oznacza ilość przyrostu
nowej trawy na powierzchni jednego jugiera w ciągu jednego tygodnia. Wówczas na powierzchni
313
jugiera znajduje się
103x
trawy, a wciągu czterech tygodni na tym pastwisku przyrasta

4·103·y

trawy. Z tego wynika, że jedna krowa w ciągu tygodnia zje



4·103y
+103x
4·12


trawy.

Z drugiej strony ilość trawy na łące o powierzchni 10 jugierów równa jest 10x, a w ciągu 9 tygodni na
łące przyrasta 90y trawy. Jedna krowa w ciągu tygodnia więc zjada



90y+10x
9·21


trawy.



Otrzymujemy równanie



403y
+103x
4·12

=

90y+10x
9·21


Stąd 9 · 21 ·
103
(4y + x) = 4 ·12 · 10(9y + x).


Otrzymujemy x = 12y


Jedna krowa w ciągu tygodnia zjada
109y
trawy.

Ilość trawy na 24 jugierach równa jest 24x = 24 · 12 · y.


W ciągu 18 tygodni na tej łące przyrasta 24 · 18 · y trawy.
Łączna ilość trawy, która ma wystarczyć na 18 tygodni równa jest
24 · 12 · y + 24 · 18 · y = 24 · 30 · y.


W ciągu 18 tygodni jedna krowa zjada
109y
· 18 = 20y trawy.

Trawy wystarczy zatem dla


24·30y
20y = 36 krów.

Zadanie16

Dwie małpy siedziały na drzewie: jedna na samym jego wierzchołku, druga
na wysokości 10 łokci od ziemi. Druga małpa, chcąc napić się wody w
źródle odległym o 40 łokci, zlazła z drzewa; w tymże czasie pierwsza
małpa skoczyła z wierzchołka wprost do tego samego źródła po
przeciwprostokątnej. Odległość przebyta przez małpy była jednakowa. Z
jakiej wysokości pierwsza małpa skoczyła z drzewa?

Rozwiązanie:
W wyniku skoku małpy powstał trójkąt prostokątny.
Skoro przebyta odległość była jednakowa, to przeciwprostokątna równa
jest 50 łokci. Źródło odległe jest o 40 łokci, więc tyle ma jedna z
przyprostokątnych. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa szybko dochodzimy,
iż drzewo ma 30 łokci wysokości.

zadanie...

Znajdź trzy takie liczby, których suma, a także suma każdej pary tych liczb jest
kwadratem innej liczby.


Rozwiazanie: Liczby te to: 80, 320, 41.